SOS动漫社团 › 博物馆 › 龙骑士07专区 › 分形几何学与“无限”的世界（科普帖）

查看: 19820|回复: 15

分形几何学与“无限”的世界（科普帖）

53 主题	147 存在感	23 活跃日

SOSG招收字幕组人员

SOS团一星级★

发帖: 621
SOS币: 28473
注册: 2009-04-28
访问: 2012-02-04

楼主

发表于 2009/12/20 | 编辑

EP4开头的元世界中，格蕾特尔(缘寿)将贝阿朵莉切的世界形容为“门格尔海绵”(动画版中被删减)。那么“门格尔海绵”究竟是什么呢？这又要从分形几何学说起……

分形几何学背景

分形(fractal)是指：一个粗糙或零碎的几何形状，它可以分成几个部分，且每一部分都（至少大概）是整体缩小尺寸的形状，即这个几何体具有自相似性(Self-similarity，即一个物体和它本身的一部分是完全或几乎相似的)。分形几何最著名的例子莫过于“曼德勃罗集”(Mandelbrot set，由法裔美国数学家伯努瓦・曼德勃罗(Benoît Mandelbrot)提出)。

图片需登录后查看

分形一般具有以下特征：
1.在任意小的尺度下都有精细的结构。
2.极度不规则，很难用欧几里德几何学语言描述。
3.自相似。
4.豪斯多夫维数大于拓扑维数。
5.有简单的递归定义。

分形按构造方法可以分为：逃逸时间型、迭代函数系统型、随机型和奇异吸引子型。按自相似可以分为：精确自相似、半自相似和统计自相似。分形广泛应用于各个领域，如酵素学、地震学、CG设计、断裂力学等。

分形几何学以及与其相关几个概念

拓扑学(Topology)：是近代发展起来的一个数学分支，这门学科的产生于几何学以及集合理论，如空间、维数和变换。拓扑学主要研究物体在连续的变形过程中的一些空间特征，这些变形包括对物体进行拉伸、挤压等，但是不包括拆分和粘合。拓扑学对于分形几何学的兴起有着重要的影响。

同胚(Homeomorphism)：即同胚映射，指两个拓扑空间之间的双连续函数(即这个函数是单射函数和满射函数，同时它和它的反函数都是连续的)。简单来说，拓扑空间就是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲使其成为一个新物体。如：正方形和圆形同胚，球面和环面不同胚。

豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）：德国数学家菲利克斯・豪斯多夫(Felix Hausdorff)引入的一种给任意一个复杂点集赋予维数的方法。

康托尔集（Cantor set）：由德国数学家格奥尔格・康托尔(Georg Cantor)引入的一种点集概念。它是在一条线段上的一些点的集合，具有不可数和自相似的特征。

谢尔宾斯基地毯(Sierpinski carpet)：由波兰数学家瓦茨瓦夫•谢尔宾斯基(Wacław Sierpiński)提出的一种二维分形。

门格尔海绵(Menger sponge)

又称“门格尔・谢尔宾斯基海绵”，是奥地利数学家卡尔・门格尔(Karl Menger)在1926年提出的一种分形曲线。它结合了“康托尔集”和“谢尔宾斯基地毯”的特征。

图片需登录后查看

门格尔海绵的构造过程大致如下：
1.假定有一个立方体。
2.将每一个面切分成9个正方形，那么这个立方体可以拆分成27个小立方体。
3.移除每个面中央的那个小立方体以及整个立方体中央的小立方体，那么就剩下20个小立方体。这就是1级门格尔海绵。
4.对剩下的小立方体重复步骤1-3。

第二次拆分可以得到2级门格尔海绵，以此类推。当进行无限次拆分时，门格尔海绵本身将成为构造过程的限制。门格尔海绵的公式如下：

图片需登录后查看

其中M0是一个单位立方体。

门格尔海绵的拓扑维数是1，它是一种万有曲线，即任何一维曲线都与门格尔海绵的子集同胚，这里的曲线是指在任何拓扑维数为1的紧凑度量空间。

门格尔海绵的豪斯多夫维数是(log 20) / (log 3)，近似于2.726833。因为它的维数大于2，所以它在二维空间的面积近似于无限；同时它的维度小于3，所以它在三维空间的体积近似于0。

无限的世界

对于1998年的缘寿来说，六轩岛事件的真相仅仅存在于人们的想象中。后人对于六轩岛惨剧的认识仅仅局限于装在漂流瓶中的、署名为右代宫真里亚的笔记，这些文字记录了1986年10月4到10月5日两天内在六轩岛上发生的种种超自然事件。此外，由这些笔记引发猜想和议论也时刻影响着“真相”的形成。因此，从缘寿的角度来分析，贝阿朵莉切的魔法存在于文字之中，同时也存在于人们无限的遐想中，但并不存在于物质世界。

在谜团完全解开之前，还不能否定“轮回”对六轩岛世界构成的影响，也不能确定这种影响有多大。但从EP4的种种暗示中可以看出，“上位世界”与“下位世界”之间的关系就如同“读者”与“作品”。

PS.
1.由于无多余闲暇且并非数学专业，写的不好请多包涵。欢迎专业人士补充和指正。
2.Special thanks to：黑死蝶。(本来想放在术语楼的，结果发现越写越多……)

[ 此贴被jerry2在2009-12-20 16:02重新编辑 ]

回复编辑

屏蔽签名屏蔽头像只看该作者

葉月雪

46 主题	395 存在感	164 活跃日

死了很久了······

SOS团之究级水库！！

1楼

发表于 2009/12/20 | 编辑

想说的是
看了一遍
还是不明白
分析几何学和这个有什么关系

回复编辑

屏蔽签名屏蔽头像只看该作者

~CJ~

95 主题	856 存在感	179 活跃日

飞翔

家中的荣誉团员

2楼

发表于 2009/12/20 | 编辑

分形咱是知道的。。。可是发在海猫区是何意呢？

回复编辑

屏蔽签名屏蔽头像只看该作者

jerry2

53 主题	147 存在感	23 活跃日

SOSG招收字幕组人员

SOS团一星级★

3楼

发表于 2009/12/20 | 编辑

引用第2楼cjr2008于2009-12-20 15:28发表的“”:
分形咱是知道的。。。可是发在海猫区是何意呢？

因为右代宫缘寿与贝阿朵莉切的对话中曾提到过，只不过动画版(第19话 End game)将这段原原本本的删除了。

[ 此贴被jerry2在2009-12-20 15:53重新编辑 ]

回复编辑

屏蔽签名屏蔽头像只看该作者

jerry2

53 主题	147 存在感	23 活跃日

SOSG招收字幕组人员

SOS团一星级★

4楼

发表于 2009/12/20 | 编辑

引用第1楼wzt718619于2009-12-20 15:27发表的“”:
想说的是
看了一遍
还是不明白
分析几何学和这个有什么关系

这是缘寿对“无限”魔法的比喻。

EP1到EP4的六轩岛事件和分形特征一样具有自相似性。但是从反魔法的角度来说，这种“无限轮回”并不是魔法所为，只不过是一种假象。

这就如同“薛定谔的猫”一样，这是分析海猫世界观构造的一把钥匙。

[ 此贴被jerry2在2009-12-20 15:42重新编辑 ]

回复编辑

屏蔽签名屏蔽头像只看该作者

真！黑死蝶